戈登模型(估值方法之戈登增长模型)

在上一篇文章《估值方法之现金流折现法》中，我分别介绍了股利折现法（DDM）和自由现金流折现法（DCF）两种模型及其一些不足之处，限于前一篇文章的篇幅有限，本文将重点讲解这两种模型与增长之间的关系。

在用现金流折现法对股票进行估值的时候，影响其估值精确度的因素除了选取的折扣率r之外，还有一个非常大的因素就是股利或自由现金流如何增长以及如何随时间改变的问题。对于r如何选取，尽管我在前面给出了固定的公式：r=无风险收益率+风险溢价=无风险利率+风险价值系数x标准离差率； 这只是学术界给出的公式，但r确实很难确定的，因此我们可以换一种表达方式将r写出来，从而便于大家理解，即：r=无风险收益率+βx 。

（权益风险溢价+行业风险溢价+规模风险溢价+公司特定风险溢价）；每个风险溢价在不同的阶段都是不一样的，比如行业风险溢价，如果这家公司处于行业的导入期，其风险溢价就高，等到了行业成熟期，其行业风险溢价就会降低，比如电动汽车制造商特斯拉与燃油汽车制造商福特、丰田相比就处于行业不同的生命周期阶段，它们彼此的行业风险溢价相差就很大，规模风险溢价也是同样的道理，比如同属于计算机处理器制造行业的Intel和AMD，由于两者所占市场规模不一样，Intel和AMD的规模风险溢价也是不一样的，再比如垄断了全球office业务的微软和并没有垄断全球智能手机市场的苹果公司，其公司特定的风险溢价也不一样。

相对于r的难以确定，股利或自由现金流的增长及其改变同样难以确定，对于这个问题戈登早在上世纪60年代便创立了戈登增长模型（固定增长模型），并一直被沿用到今天，该模型的核心是将增长的过程简化，假设股利或自由现金流以固定的比率增长。因此该模型具有一定的局限性，它要求该股对经济周期不敏感或处于行业成熟期，本质上讲就是能持续稳定的输出现金流（关于经济周期敏感度和行业生命期如何影响一家公司，可参看我之前写的两篇文章《公司分析之商业周期敏感度》、《价值投资中的行业属性》）。

假设一只股票未来的股利是以固定比例增长的，即可以用戈登增长模型来表达，其表达公式为：

其中D为股利，t为第t个投资周期，g为增长率，计算公式为：g=b X ROE，ROE我在前面已经介绍过来，即净资产收益率，而b则是收益留存率，计算公式：b=（净利润-股利）/净利润；假设D0为当前股利，则第t个投资周期后的股利为：

假设折现率为r，则将每期股利进行折现，根据前一篇《估值方法之现金流折现法》中的股利折现公式，其表达式为：

入股一直股票的股利始终是以固定的增速增长，则该股利折现模型则可以简化成前文中永续年金的表达式，即：

假设一家自来水公司，当前股利D0=0.80元，其长期增长速度与国内GDP增速一致，为6.5%，长期国债收益率为3.5%，风险溢价为6%，β系数为0.9，则折现率r=3.5%+0.9x6%=8.9%，那么该自来水公司股票的内在价值为：

V0=0.80X(1+6.5%)/(8.9%-6.5%)=35.5元，在这里我们需要强调一点，之所以选择这个模型来计算这家自来水公司的股票内在价值，是因为这家自来水公司基本不受经济周期的影响，其增长速度也没有明显的波动，仅跟GDP增速正相关，因此特别适合用该模型来计算其内在价值。

而有的公司其增长速度跟这家自来水公司有明显不同，比如某天然气公司，它的增速分为两个阶段，一个高速增长阶段，一个稳定增长阶段，比如由于很多新建小区开始铺设新的天然气管道逐步取代原来的瓶装液化气，这家天然气公司在这个阶段处于高速增长阶段，其每年的增速为15%，预计这个增速能维持10年时间，其后由于各个小区都完成了天然气管道的改造，该天然气公司的增速变为比较稳定的低速增长，其增速跟当地GDP增速高度一致为6.5%，假设其折现率r跟上述自来水公司一样都为8.9%，现阶段的股利为0.6元，那么如何计算这家天然气公司股票的内在价值？这时候我们需要将该股票分为两个阶段来进行折现，即两段折现法来进行折现，第一段是15%的高速增长期的折现，第二段是进入稳定期后的折现，其计算公式如下：

其中gs高速增长阶段的增速，gl稳定阶段的增速，那么上述天然气公司的股票内在价值的计算过程如下表所示：

这种分两阶段的股利折现法还有一种模型——H模型，该模型也是假设一开始有一个很高且固定的增速，接着进入到一个较低且固定的增速，其计算公式如下：

其中2H为高速增长阶段的周期，H为高速增长周期的一半，其它参数意义同上，那么用此公式来计算上述天然气公司的股票内在价值为：V0=[0.6X(1+6.5%)+0.6X5X(15%-6.5%)]/(8.9%-6.5%)=37.25元，我们可以看到两种模型计算出来的结果相差很大，因此H模型也被当做是一种近似模型，常用于速算。

除了两阶段的增长外，现实世界中的公司一般呈现出三阶段的增长态势，即先经历一个高速增长期，然后再进入中速增长期，接着进入低速增长期，从行业生命周期来看，这三个增长期分别对应：成长期、动荡期、成熟期，如下图所示：

一般而言，处于导入期和成长期的公司是不会派发股利的，比如特斯拉、优步、Lyft、微博、推特、阿里巴巴等，这时候我们如何来估算这些公司的内在价值了？就是前文中介绍的自由现金流折现法，只不过我们根据其增长的三个不同阶段将其分为三个阶段分别折现求和，假设三个阶段的固定增速分别为：g1、g2、g3 ，第一个阶段的增长到第m年结束，紧接着进入第二个阶段的增长，并到第n年结束，第三个阶段的增长可以长期保持，初始阶段的自由现金流为F0，那么三段自由现金流折现法的计算公式总结如下：

其中，我们将第三阶段的增长做永续年金处理，这个公式看起来有点复杂，难以理解，下面我们用具体的案例来做演示，比如著名分析师牛的哗打算对一家家具生产商进行内在价值的评估，他已经完成了以下工作：

> 该公司当期的自由现金流为7.5亿元，

> 外在股票数量为3.0939亿，

> 无风险利率为5.04%，风险溢价为5.5%，股权β系数为0.90，

> 预计自由现金流第一阶段的增速为15%（第1-第5年），第二阶段的增速为10%（第6-第10年），第11年及其以后的增速为6%。

现在我们来帮牛的哗计算一下该公司股票的内在价值，计算过程如下表所示：

最终我们得出每股内在价值为109.53元。这是我们估算的结果，实际上，根据一家公司不同的发展阶段，我们还可以将其分为更多个阶段，甚至可以在不同的阶段使用不同的折现率。因为现实世界中，一家公司增速的放缓并不是呈现直线下降，而是会以波动的形式下降，比如互联网行业的腾讯公司、它的自由现金流的增速会因主营的游戏业务的波动而表现出强烈的波动，但最终的增速会随着用户数量的饱和而放缓。

同时还有一些周期性较强的行业，比如英伟达、美光、博通，不太合适用戈登增长模型+现金流折现法来进行估值，但是适合用历史数据进行模拟估算，除此之外，戈登增长模型也不太适用高科技企业，这些高科技企业往往会推出创新性产品，对于创新性产品到底能带给市场怎样的颠覆性？没人能说得准，比如苹果公司推出ipod产品后，其2004年的自由现金流的增速为500%，而后五年的增速一路从200%下降到10%左右，就当很多分析师认为它的自由现金流的增速会在10%左右趋于稳定时，其增速又从10%上升到了80%，因为苹果公司推出的新产品iPhone手机在市场上取得了巨大的成功。

无独有偶，亚马逊、微软的自由现金流的增速也在它们各自推出新业务——云计算服务后出现的快速的上升，而IBM则因这两家公司的云计算服务的快速增长导致自己的数据中心业务急剧下滑，自由现金流的增长也急剧下降，这让巴菲特都始料未及。同时云计算业务的出现，也让英特尔摆脱了一次周期性影响，在半导体行业集体因行业周期影响出现增速急剧放缓的时候，英特尔却因云计算市场的强劲需求呈现快速增长的态势。有时，即使两家商业模式和产品形态及其相同的公司，因为增速的不同，所表现出来的内在价值也有很大的不同，比如新浪微博和Twitter。因此，我们在对一家公司进行估值的时候，一定要先分析清楚这家公司的内在因素，再选取合适的估值模型对其进行评估，活学活用，切不可生搬硬套。在后面的专栏里，我还将陆续介绍其它的估值方法和模型。